on-line procvičování 2

Desetinná čísla

30. 9. 2010

Které dvě části má desetinné číslo?
Každé desetinné číslo je složeno z celé části. Necelé části desetinných čísel, se kterými jste dosud počítali, byly tvořeny desetinami a setinami. Například číslo 16,32 je složeno takto:
16,32 = 16 + 0,32
Číslo 16 je celá čát a číslo 0,32 necelá část původního čísla. Necelá část je složena ze 3 desetin a 2 setin.
Co jsou tisíciny, desetitisíciny, statisíciny,...?
Například: Protože 1m = 10dm, platí 1dm = 0,1m.
Protože 1m = 100cm, platí 1cm = 0,01m.
Rozdělíme-li celek na 1000 stejných částí, bude každá část tisícinou původního celku. Jednu tisícinu apíšeme desetinným číslem
0,001 (čti ,,žádná celá, jedna tisícina"
nebo ,,nula celá, jedna tisícina").
Platí tedy:
1 : 1 000 = 0,001
Například:
Protože 1m = 1 000mm, platí 1mm = 0,001m.
Protože 1kg = 1 000g, platí 1g = 0,001kg.
V rozdělování celku na menší, stejně velké díly můžeme pokračovat i dále. Při rozdělení na 10 000 stejných dílů dostaneme desetitisíciny, na 100 000 stejných dílů Istotisíciny, na 1 000 000 stejných dílů miliontiny (původního celku). V matematice to zapíšeme rovnostmi:
1 : 10 000 = 0,0001 (čti ,,žádná celá, jedna desetitisícina")
1 : 100 000 = 0,000 01 (čti ,,žádná celá, jedna stotisícina")
1 : 1 000 000 = 0,000 001 (čti ,,žádná celá, jedna miliontina")
V praxi se díly menší než miliontiny nezapisují jako desetinná čísla, ale vyjadřují se pomocí mocnin. Naučíte se to v sekundě.
Zápis ,,dlouhého" desetinného čísla bude přehlednější, když každou trojici číslic za desetinnou čárkou oddělíme malou mezerou. Dobře víte, že podobně se seskupují i číslice před desetinnou čárkou.
Desetiny, setiny, tisíciny, desetitisíciny,... jsou jednotky řádů na místech za desetinnou čárkou. Těmto místům říkáme desetinná. (Jednotky na místech řádů před desetinnou čárkou už znáte: jsou to jednotky, desítky, stovky, tisíce, ...)
V následující tabulce jsou znovu zapsána desetinná čísla, která vyjadřují jednotky řádů za desetinnou čárkou:
Jaké jsou vztahy mezi desetinami, setinami, tisícinami,...?
Nejprve vysvětlíme, z kolika setin je složena 1 desetina. Na obrázku vidíte čtverec rozdělený na 100 stejných čtverečků. Jsou to setiny celého čtverce.
0,1 = 0,10
Všimněte si rovnosti napravo. K zápisu čísla 0,1 jsme zprava připsali jednu nulu. Tím jsme ,,přidali" 0 setin, takže jsme původní číslo nezměnili. Zápis 0,10 nám napovídá, že jde o číslo složené z 10 setin. (Přečteme číslo za desetinnou čárkou a pojmenujeme ho podle posledního ,,obsazeného" místa.)
Připisováním dalších nul objevíme tyto vztahy:
0,1 = 0,100 1 desetina je 100 tisícin
0,1 = 0,100 0 1 desetina je 1 000 desetitisícin
0,1 = 0,100 00 1 desetina je 10 000 stotisícin
0,1 = 0,100 000 1 desetina je 100 000 miliontin
Stejně snadno například zjistíme, z kolika stotisícin je složena 1 setina:
0,01 = 0,010 00
K číslu 0,01 jsme připisovali nuly tak dlouho, až jsme se ,,dostali" ke stotisícinám. Vidíme, že 1 setina je 1 000 stotisícin.
Jak zapisujeme a čteme desetinná čísla?
Zápis 0,007 vyjadřuje číslo, složené ze 7 tisícin. Přečteme ho ,,žádná celá, sedm tisícin". Podobně čteme další čísla:
0,000 3 ,,žádná celá, tři desetitisíciny"
0,000 04 ,,žádná celá, čtyři stotisíciny"
5,000 009 ,,pět celých, devět miliontin"
Poslední číslo je složeno z pěti jednotek a devíti miliontin.
Složitější situace nastane, když je za desetinnou čárkou více nenulových číslic.
Víte již, že číslo 0,35 (složené z tří desetin a pěti setin) nečteme ,,žádná celá, tři desetiny, pět setin",ale jednodušeji: ,,žádná celá, třicet pět setin". Podobně číslo 0,035 složené ze tří setin a pěti tisícin přečteme ,,žádná celá, třicet pět tisícin".
Podívejte se, jak čteme další desetinná čísla:
1,328 ,,jedna celá, tři sta dvacet osm tisícin"
4,000 204 ,,čtyři celé, dvě stě čtyři miliontiny"
7,408 25 ,,sedm celých, čtyřicet tisíc osm set dvacet pět stotisícin"
```
 
```
^{Vysvětlíme, na čem je čtení necelých částí založeno. Například číslo 0,328 je složeno ze tří desetin, dvou setin a osmi tisícin. Protože 3 desetiny jsou 300 tisícin a 2 setiny jsou 20 tisícin, je celkový počet tisícin roven 300+20+8, tj. 328.}
Obvyklým zápisům desetinných čísel někdy říkáme zkrácené. Napřklad 24,561 je zkrácený zápis čísla, které je složeno ze dvou desítek, čtyř jednotek, pěti desetin, šesti setin a jedné tisíciny. ,,Podrobněji" je můžeme zapsat jako součet:
24,561 = 2 . 10 + 4 . 1 + 5 . 0,1 + 6 . 0,01 + 1 . 0,001
Napravo stojí rozvinutý zápis daného čísla.
Prohlédněte si rozvinuté zápisy dalších dvou čísel:
98,745 6 = 9 . 10 + 8 . 1 + 7 . 0,01 + 5 . 0,001 + 6 . 0,000 1
102,201 = 1 . 100 + 2 . 1 + 2 . 0,1 + 1 . 0,001
Všimněte si, že v posledním zápisu jsme vynechali sčítance 0 . 10 a 0 . 0,01.
(V rozvinutém zápisu čísla nejsou desítky a setiny zastoupeny.)
Jak porovnáváme desetinná čísla?
Již ze základní školy víte, že ze dvou různých čísel je vždy jedno menší a druhé větší. Zapisujeme to nerovnostmi. Například číslo 0,57 je větší než číslo 0,28, noboli číslo 0,28 je menší než číslo 0,57:
0,57 > 0,28 neboli 0,28 < 0,57
Jak poznáme, které ze dvou čísel je menší a které větší?
Nerovnost 1,28 > 0,95 je jasná, neboť první číslo má větší celou část než druhé.
Čísla 3,45 a 3,15 však mají celou část stejnou, proto se podíváme, které z nich má více desetin. Je to číslo 3,45, takže 3,45 > 3,15.
Čísla 2,183 a 2,182 9 se shodují v celých částech, desetinách i setinách. Proto je porovnáme podle počtu tisícin: 2,183 > 2,182 9.
Jak zaokrouhlujeme desetinná čísla?
Víte již, že přesné číselné údaje v praxi často nahrazujeme jejich přibližnými hodnotami. Při tom je nutné čísla správně zaokrouhlovat.
Naučili jste se již zaokrouhlovat přirozená čísla. Připomeňme, jak například zaokrouhlujeme číslo 8 734 na desítky, stovky a tisíce:
8 734 = 8 730 (zaokrouhleno na desítky)
8 734 = 8 700 (zaokrouhleno na stovky)
8 734 = 9 000 (zaokrouhleno na tisíce)
Desetinná čísla zaokrouhlujeme podle stejných pravidel. Vysvětlíme je při zaokrouhlování čísla 42,817 5:
- Při zaokrouhlení na jednotky je rozhodující číslice 8 na místě desetin. Proto zaokrouhlíme nahoru:
- 42,817 5 = 43
- Při zaokrouhlení na desetiny je rozhodující číslice 1 na místě setin. Proto zaokrouhlíme dolů:
- 42,817 5 = 42,8
- Při zaokrouhlení na setiny je rozhodující číslice 7 na místě tisícin. Proto zaokrouhlíme nahoru:
- 42,817 5 = 42,82
- Při zaokrouhlení na tisíciny je rozhodující číslice 5 na místě desetitisícin. Proto zaokrouhlíme nahoru:
- 42,817 5 = 42,818
- Někdy říkáme, že jsme desetinné číslo zaokrouhlili na určitý počet desetinných míst. Na jedno desetinné místo znamená na desetiny, na dvě desetinná místa na seiny atd.